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Hodol's Blog

Documents 1차 미분방정식 풀기

2015.05.05 08:48

Hodol 조회 수:414

1차 미분방정식 풀기

여는 말
수학 문서 작성 테스트이다.
본론
\(p(t)\), \(g(t)\)가 t에 관한 연속함수라고 할 때, 1차 미분 방정식 \(y(t)'+p(t)y(t) = g(t)\)의 해를 구해보자.
적분 인자(integral factor) \(\mu(t)\)를 찾자. 편의를 위해 \(\mu(t) > 0\) 이라고 가정하자.$$\begin{eqnarray}\mu(t)'& = &p(t)\mu(t) \\ { \mu(t)' \over \mu(t)}& = &p(t) \\ \int {\mu(t)' \over \mu(t)} dt& =& \int p(t) dt + C_{1} \\ ln |\mu(t)| & = &\int p(t) dt + C_{1} \\ \mu(t) & = & e^{\int p(t) dt + C_{1}} \\ \mu(t) &= & ce^{\int p(t) dt}\end{eqnarray}$$ 마지막 줄에서 \( c = e^{C_{1}}\) 으로 정의하였다. 이 적분 인자 \(ce^{\int p(t) dt}\)를 주어진 미분 방정식 양변에 곱해주면, 좌변은 $$\begin{eqnarray}\mu(t)y(t)' + p(t)\mu(t)y(t)& = &\mu(t)y(t)' + \mu(t)'y(t) \\ & = &(\mu(t)y(t))' \end{eqnarray} $$ 우변은 $$ \mu(t)g(t) $$ 가 되어 $$\begin{eqnarray} (\mu(t)y(t))'& =& \mu(t)g(t) \\ \int (\mu(t)y(t))' dt &=& \int \mu(t)g(t) dt + C_{2} \\ \mu(t)y(t) &=& \int \mu(t)g(t) dt + C_{2} \\ y(t) &=& {1 \over \mu(t)} \left( \int \mu(t)g(t) dt + C_{2} \right) \\ y(t) &=& {1 \over ce^{\int p(t) dt}}\left( \int ce^{\int p(t) dt}g(t) dt + C_{2} \right) \end{eqnarray}$$ 라는 결론을 얻을 수 있다.